This site is not complete. The work to converting the volumes of സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം is on progress. Please bear with us
Please contact webmastersiep@yahoo.com for any queries regarding this website.
Reading Problems? see Enabling Malayalam
ആവൃത്തി
സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം സംരംഭത്തില്‍ നിന്ന്
ആവൃത്തി
Frequency
ആവൃത്തി എന്ന പദം വിജ്ഞാനത്തിന്റെ വിവിധ ശാഖകളില്‍ സാങ്കേതികസംജ്ഞയായി പ്രയോഗത്തിലുണ്ട്‌. ഭൗതികശാസ്‌ത്രത്തില്‍, ഒരു സെക്കണ്ടില്‍ ഒരു ബിന്ദുവില്‍ക്കൂടി കടന്നുപോകുന്ന തരംഗങ്ങളുടെ എച്ചം; ഗണിതശാസ്‌ത്രത്തില്‍, ഒരു ഫലന(function)ത്തിന്റെ മൂല്യത്തില്‍ അതിലെ ആശ്രിതചരം (dependent variable) മാത്രാകാല(unit interval)ത്തിലുള്ള എല്ലാ ബിന്ദുവും കടക്കുമ്പോള്‍, ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യ എത്രതവണ ആവർത്തിക്കുന്നു എന്നത്‌; സാഖ്യികശാസ്‌ത്രത്തില്‍, ഒരു ഗുണവിശേഷത്തിന്റെയോ പ്രത്യേക വിഭാഗത്തിന്റെയോ ആവർത്തനസംഖ്യ തുടങ്ങിയവ. മൗലികവീക്ഷണത്തില്‍, ഇവയെല്ലാംതന്നെ സാംഖ്യികത്തില്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന അർഥം തന്നെയാണ്‌ കുറിക്കുന്നത്‌-ആവർത്തനത്തിന്റെ എച്ചം; എന്തിന്റെ എന്നത്‌ സന്ദർഭാനുസൃതം മാറുന്നുവെന്നുമാത്രം. സാഖ്യികത്തില്‍ കല്‌പിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന സാങ്കേതികാർഥത്തിലാണ്‌ ആവൃത്തി എന്ന പദം ഈ ലേഖനത്തില്‍ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത്‌. ഗുണവിശേഷത്തിന്റെയോ പ്രത്യേക വിഭാഗത്തിന്റെയോ ആവർത്തനങ്ങളുടെ എച്ചവും ആകെ എച്ചവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തെയും ചിലപ്പോള്‍ ആവൃത്തി എന്നു പറയുന്നു. പക്ഷേ, ഈ അനുപാതത്തെ ആപേക്ഷിതാവൃത്തി എന്നു പറയുന്നതാവും ശരി. ഉദാഹരണമായി ഒരു ഗ്രാമത്തിലെ 625 വീടുകളെ അവയിലെ മുറികളുടെ എച്ചം എന്ന ഗുണവിശേഷം അടിസ്ഥാനമാക്കി തരം തിരിച്ചപ്പോള്‍ മൂന്നു മുറികളുള്ള വീടുകളുടെ എച്ചം 125 ആണെന്നിരിക്കട്ടെ അപ്പോള്‍ 125 എന്നുള്ളത്‌ മൂന്നു മുറികളുള്ള വീടുകളുടെ ആവൃത്തിയും 125/625 എന്നത്‌ അതിന്റെ ആപേക്ഷിക-ആവൃത്തിയും ആകുന്നു.
ആവൃത്തിവിതരണം (Frequency distribution). സാഖ്യികശാസ്‌ത്രത്തില്‍, സംഖ്യാങ്ങകദത്തങ്ങള്‍ അവയുടെ ഗുണവിശേഷത്തിന്റെ മൂല്യക്രമത്തില്‍ വർഗങ്ങളായി തിരിച്ച്‌, ഓരോന്നിലും ഉള്‍പ്പെടുന്നവയുടെ ആവൃത്തി കണക്കാക്കുന്നു. വിവിധ വർഗങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യകളെ ക്രമത്തില്‍ രേഖപ്പെടുത്തി, ഓരോന്നിനും എതിരെ അതതിന്റെ ആവൃത്തികളും ചേർത്തുണ്ടാക്കുന്ന പട്ടികയ്‌ക്ക്‌ ആവൃത്തിവിതരണം എന്നു പറയുന്നു. ഗുണവിശേഷങ്ങള്‍ സംഖ്യകൊണ്ട്‌ കുറിക്കാന്‍ വയ്യാത്തവയായിരിക്കുമ്പോഴും (ഉദാ. നിറം, സ്വഭാവം, അഭിപ്രായം) പ്രസക്ത സമഷ്‌ടി(Universe)യെ വിഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ച്‌ ആവൃത്തി കണക്കാക്കി പട്ടികരൂപത്തിലാക്കാറുണ്ട്‌. ഇതും ഒരുതരം ആവൃത്തിവിതരണമാണെങ്കിലും സാധാരണയായി അവയെ "വിതരണം' എന്നു മാത്രമാണ്‌ പറയുക. ഈദൃശവിതരണങ്ങളില്‍ ഗുണവിശേഷത്തിന്റെ ക്രമത്തിന്‌ പ്രത്യേകമായി പ്രസക്തി ഇല്ലെന്നുള്ളത്‌ ശ്രദ്ധേയമാണ്‌.
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടികകള്‍ പരിശോധിക്കാം. ഒരു ഗ്രാമത്തിലെ വീടുകളെ സംബന്ധിച്ചവയാണ്‌ രണ്ടും. ഒന്നാമത്തേതില്‍ വീടുകളെ അവയിലെ മുറികളുടെ എച്ചമനുസരിച്ച്‌ തരംതിരിച്ചിരിക്കുമ്പോള്‍ രണ്ടാമത്തേതില്‍ അവയുടെ മേല്‍ക്കൂരയുടെ സ്വഭാവം അനുസരിച്ചാണ്‌ തിരിച്ചിരിക്കുന്നത്‌.
രണ്ടുപട്ടികകളിലും ഗ്രാമത്തിലെ വീടുകളുടെ രണ്ടു വിധത്തിലുള്ള ആവൃത്തിയുടെ വിതരണങ്ങളാണ്‌ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതെങ്കിലും, പട്ടിക 1-നെ ആവൃത്തിവിതരണത്തിന്‌ ഉദാഹരണമായി പറയുമ്പോള്‍ പട്ടിക 2-നെ വിതരണം എന്നല്ലാതെ ആവൃത്തിവിതരണം എന്നു സാധാരണയായി വിശേഷിപ്പിക്കാറില്ല. ഒന്നാം പട്ടികയില്‍ തരംതിരിക്കാനുപയോഗിച്ച ഗുണവിശേഷം-മുറികളുടെ എച്ചം-സാർഥകമായ സംഖ്യകള്‍കൊണ്ടും, അതുകൊണ്ട്‌ ക്രമത്തിലും (ഇവിടെ ആരോഹണക്രമത്തില്‍; അവരോഹണക്രമത്തിലുമാവാം) രേഖപ്പെടുത്താന്‍ കഴിഞ്ഞു. പക്ഷേ, രണ്ടാമത്തെ പട്ടികയില്‍ വർഗീകരണത്തിനുപയോഗിച്ച സ്വഭാവവിശേഷം സംഖ്യകള്‍കൊണ്ട്‌ സാർഥകമായി കുറിക്കപ്പെടാനും അതുപോലെതന്നെ പ്രത്യേകമായ ഒരു ക്രമത്തില്‍ അവതരിപ്പിക്കപ്പെടാനും പറ്റാത്തതാണ്‌.
സാധാരണയായി സാമ്പിള്‍-ദത്തങ്ങളാണ്‌ ആവൃത്തിവിതരണമായി രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നത്‌. ആവൃത്തിവിതരണത്തിന്റെ സമഷ്‌ടിപ്പതിപ്പ്‌ (Population counterpart) ആണ്‌ സംഭാവ്യതാവിതരണം (Probability distribution); ഗുണവിശേഷം വിച്ഛിന്നം (discrete) ആകുമ്പോള്‍ സംഭാവ്യതാഫലനവും (Probability function), അവിച്ഛിന്നം (continuous) ആെകുമ്പോള്‍ സംഭാവ്യതാഘനത്വഫലനവും (Probability density function) ലഭിക്കുന്നു. പഠനവിഷയത്തിന്റെ വൈവിധ്യമനുസരിച്ച്‌ ചിലപ്പോള്‍ ഒന്നോ രണ്ടോ അതിലധികമോ ഗുണവിശേഷങ്ങളെപ്പറ്റി ഒരേസമയം തന്നെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതായി വന്നേക്കാം. അതനുസരിച്ച്‌ ഓരോ ഗുണവിശേഷത്തിനും പ്രത്യേകമായോ അല്ലെങ്കില്‍ കൂട്ടായോ തരംതിരിക്കല്‍ നടത്താം. വിഭാഗങ്ങളായി തിരിക്കാന്‍ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുള്ള ഗുണവിശേഷങ്ങളുടെ എച്ചത്തിനനുസൃതമായി ആവൃത്തിവിതരണപ്പട്ടികയെ (വിതരണപ്പട്ടികയെയും) ഏകചരം (univariate), ദ്വിചരം (bivariate), ബഹുചരം (multivariate) എന്നിങ്ങനെ തരം തിരിക്കാവുന്നതാണ്‌. രണ്ടില്‍ കൂടുതല്‍ ഗുണവിശേഷങ്ങള്‍ ഒന്നിച്ചുപയോഗിച്ചാണ്‌ തരംതിരിച്ചിട്ടുള്ളതെങ്കില്‍ അവയെല്ലാംതന്നെ ബഹുചരം എന്ന വിഭാഗത്തില്‍ ആണ്‌ സാധാരണയായി കൊള്ളിക്കുക (മൂന്നു ഗുണവിശേഷങ്ങളുള്ളവയ്‌ക്ക്‌ ത്രിചരം എന്ന പ്രയോഗവും നിലവിലുണ്ട്‌). ഉദാഹരണമായി ഒരു സ്ഥലത്തെ ആളുകളെ അവരുടെ വയസ്‌, പൊക്കം, തൂക്കം, പ്രതിമാസവരുമാനം തുടങ്ങി വിവിധ ഗുണവിശേഷങ്ങളനുസരിച്ച്‌ തരംതിരിക്കാം. ഏതെങ്കിലുമൊരെച്ചം മാത്രമുപയോഗിച്ചാണ്‌ ആവൃത്തിവിതരണം തയ്യാറാക്കിയതെങ്കില്‍ അത്‌ ഏകചരം എന്ന വിഭാഗത്തില്‍പ്പെടും; ഏതെങ്കിലും രണ്ടു ഗുണവിശേഷങ്ങളുടെ കൂട്ടായ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ തയ്യാറാക്കിയ പട്ടികയാണെങ്കില്‍ അത്‌ ദ്വിചരപ്പട്ടികയായി. മൂന്നോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഗുണവിശേഷങ്ങള്‍ ഒന്നിച്ചുള്ളതാണെങ്കില്‍ അതിനെ ബഹുചരവിതരണം എന്നു പറയും. ഒന്നില്‍ കൂടുതല്‍ ഗുണവിശേഷങ്ങള്‍ക്കൊന്നിച്ചുള്ള പട്ടികയില്‍നിന്നും ഓരോന്നിനും പ്രത്യേകമായുള്ള വിതരണം ഉണ്ടാക്കാം. എന്നാല്‍ ഓരോന്നിനും പ്രത്യേകമായ വിതരണം അറിയുന്നതുകൊണ്ടുമാത്രം രണ്ടോ അതില്‍ കൂടുതലോ ഗുണവിശേഷങ്ങളുടെ കൂട്ടായ വിതരണം പുനഃനിർമിക്കാന്‍ കഴിയുകയില്ല. കൂടാതെ ഗുണവിശേഷങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള പരസ്‌പരബന്ധം അറിയാനും ഓരോന്നിന്റെയും വെണ്ണേറെയുള്ള വിതരണം അപര്യാപ്‌തമാണ്‌. മേല്‌പറഞ്ഞ കാരണങ്ങളാല്‍ ബഹു ചരപ്പട്ടികയുടെ സങ്കീർണത കൂടി വരുത്തുന്നു) ഒരു ബഹുചരവിതരണങ്ങള്‍ അവയിലെ ഗുണവിശേഷങ്ങളില്‍ ഓരോന്നിന്റെയും വെണ്ണേറെയുള്ള വിതരണങ്ങള്‍ എല്ലാം കൂടിയുള്ളതിനെക്കാളും പ്രയോജനപ്രദമാണ്‌ (ഗുണവിശേഷങ്ങളുടെ എച്ചം വർധിക്കുന്നതോടെ ബഹുചരവിതരണം അതിലെ ഗുണവിശേഷങ്ങളുംകൂടി ഉള്‍ക്കൊണ്ടിരുന്ന കൂടുതല്‍ ബൃഹത്തായ മറ്റൊരു ബഹുചരവിതരണത്തില്‍നിന്നുണ്ടാക്കിയതാണെങ്കില്‍, ആ വിവരം കാണിക്കാനായി ആദ്യം പറഞ്ഞതിനെ രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഉപാന്ത വിതരണം എന്നു പറയുന്നു.
ആവൃത്തിവിതരണം നിർമിക്കുന്ന വിധം. സാമ്പിള്‍ദത്തങ്ങള്‍ പലപ്പോഴും സങ്കീർണമായിരിക്കും. പഠനവിധേയമായ ഗുണവിശേഷത്തിന്റെ രീതിയും സ്വഭാവവും എളുപ്പം ഗ്രഹിക്കുവാന്‍ ആവൃത്തിവിതരണം സഹായിക്കുന്നു. ദത്തങ്ങളുടെ ഒരു ലഘൂകൃതരൂപമാണ്‌ ആവൃത്തിവിതരണം. സ്വാഭാവികമായും ഈ ലഘൂകരണ പ്രക്രിയയില്‍ ചുരുക്കം വിശദാംശങ്ങള്‍ ഒഴിവാക്കേണ്ടി വന്നേക്കാം. അപ്പോള്‍, ആവശ്യമായ വിവരങ്ങള്‍ വിട്ടുപോകാതിരിക്കാനും അപ്രസക്തങ്ങളായ വിശദാംശങ്ങള്‍ ഒഴിവാക്കാനും ശ്രദ്ധിക്കണം. വിഭാഗങ്ങളുടെ എച്ചം വളരെ കൂടുന്നത്‌ പഠനസൗകര്യം കുറയ്‌ക്കുന്നു. അതിനാല്‍ പലപ്പോഴും പ്രത്യേക ഗുണവിശേഷത്തിന്റെ സാമീപ്യ(neighbourhood)ത്തിലുള്ള മൂല്യങ്ങളെ ഒന്നിപ്പിക്കുകയോ, അവയെ മൊത്തത്തില്‍ അന്തരാളങ്ങള്‍ (intervals) ആയി തിരിക്കുകയോ ചെയ്‌തായിരിക്കും അതതു വിഭാഗത്തിന്റെ (വർഗത്തിന്റ) ആവൃത്തി കാണുക. വർഗങ്ങളുടെ എച്ചം തീരെ കുറയുന്നത്‌ ആവശ്യമായ വിവരങ്ങള്‍ അവഗണിക്കപ്പെടുന്നതിന്‌ ഇടയാക്കിയേക്കാം. അതുകൊണ്ട്‌ സമഗ്രമായ വീക്ഷണത്തിന്‌ വൈഷമ്യമുണ്ടാക്കാത്ത തരത്തിലും എച്ചത്തില്‍ തീരെ കുറയാതെയും ഉള്ള വർഗങ്ങളായി ദത്തങ്ങളെ വിഭജിച്ചായിരിക്കണം ആവൃത്തിവിതരണം നിർമിക്കേണ്ടത്‌. ഇങ്ങനെ ദത്തങ്ങളുടെ മൂല്യക്രമത്തിലുള്ള വിഭജനത്തെ "വർഗീകരണം' എന്നു പറയുന്നു.
ചില സന്ദർഭങ്ങളില്‍ വർഗങ്ങള്‍ ഗുണവിശേഷത്തിന്റെ ലക്ഷണമനുസരിച്ച്‌ സ്വാഭാവികമായിത്തന്നെ നിർണയിക്കപ്പെട്ടേക്കാം. എന്നാല്‍ മറ്റു ചില സന്ദർഭങ്ങളില്‍, പ്രത്യേകിച്ചും ഗുണവിശേഷം അവിച്ഛിന്നമാകുമ്പോള്‍, വർഗങ്ങളുടെ സീമ എന്തായിരിക്കണമെന്നത്‌ വ്യക്തമായിരിക്കയില്ല. കുടുംബങ്ങളുടെ അംഗസംഖ്യ അനുസരിച്ചുള്ള ആവൃത്തിവിതരണമാണുണ്ടാക്കുന്നതെങ്കില്‍ വർഗങ്ങള്‍ ഒരംഗമുള്ളത്‌ രണ്ടംഗമുള്ളത്‌ എന്നിങ്ങനെ സ്വാഭാവികമായിത്തന്നെ നിർണയിക്കപ്പെടുമ്പോള്‍, കുടുംബങ്ങളുടെ പ്രതിമാസവരുമാനം അനുസരിച്ചുള്ള ആവൃത്തിവിതരണത്തില്‍ വർഗങ്ങളുടെ സീമകള്‍ നിർണിതമല്ല; രണ്ടുപേർ പ്രത്യേകം നിർമിക്കുമ്പോള്‍ ഒരേ രീതിയിലുള്ള വർഗങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചെന്നും വരികയില്ല. ഇവിടെ വർഗവിഭജനം നിരീക്ഷകന്റെ യുക്തിക്കും അറിവിനും അനുസരിച്ചായിരിക്കും നടത്തുക.
വ്യക്തമായി നിർവചിക്കാന്‍ കഴിയില്ലെങ്കിലും വർഗീകരണത്തില്‍ ചില സാമാന്യതത്ത്വങ്ങള്‍ പാലിക്കാറുണ്ട്‌. ഗുണവിശേഷത്തിന്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്‌, കഴിവുള്ളിടത്തോളം തുല്യസീമാന്തരം പാലിക്കുന്ന വർഗങ്ങളാക്കുന്നതാവും പലതുകൊണ്ടും നല്ലത്‌. ഗുണവിശേഷമൂല്യം ഓരോ വർഗത്തിലും തുല്യ അളവില്‍ ഉള്‍പ്പെടുമ്പോഴാണ്‌ സീമാന്തരം തുല്യമാകുന്നത്‌. എന്നാല്‍ പ്രതിമാസവരുമാനംപോലെ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുള്ള ഗുണവിശേഷങ്ങളുടെ കാര്യത്തില്‍ തുല്യവർഗാന്തരാളം (class interval) സ്വീകരിക്കാറില്ല; താഴ്‌ന്ന വരുമാനക്കാരെപ്പറ്റി മാത്രമാണ്‌ പഠിക്കുന്നതെങ്കില്‍ ഈ ഗുണവിശേഷവും തുല്യസീമാന്തരമുള്ള വർഗങ്ങളായി വിഭജിക്കാവുന്നതാണ്‌. ചിലപ്പോള്‍ ഒരു വർഗം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നത്‌ ഒറ്റ മൂല്യം മാത്രമായിരിക്കാം; അപ്പോഴും അത്‌ ഒരു വർഗാന്തരാളത്തെയാണ്‌ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്‌. ഉദാഹരണമായി 25 വയസ്‌ പൂർത്തിയാക്കിയ വർഷങ്ങള്‍ അനുസരിച്ചുണ്ടാക്കിയ ഒരു ആവൃത്തി വിതരണത്തില്‍ 25 എന്നത്‌ 25 വയസ്‌ പൂർത്തിയാക്കിയതുമുതല്‍ 26 വയസ്‌ പൂർത്തിയാകുന്നതിനുമുമ്പുവരെയുള്ള ഒരു വർഷത്തെയാണ്‌ യഥാർഥത്തില്‍ കുറിക്കുന്നത്‌. വർഗാന്തരാളം തുല്യമായിരിക്കുമ്പോള്‍ ഗുണവിശേഷത്തിന്റെ മൊത്തം പരാസ(range)ത്തെ വർഗങ്ങളുടെ എച്ചം കൊണ്ട്‌ ഹരിച്ച്‌ അത്‌ ഏകദേശമായി കണക്കാക്കാം. ഇങ്ങനെ കിട്ടുന്ന മൂല്യത്തെ സങ്കീർണഭിന്നങ്ങള്‍ ഒഴിവാക്കി, കഴിയുന്നതും സൗകര്യപ്രദമായ സംഖ്യയാക്കിമാറ്റി വർഗാന്തരാളം നിർണയിക്കുന്നു. ചില ദത്തങ്ങളില്‍ ഗുണവിശേഷങ്ങള്‍ക്ക്‌ നന്നേചെറിയ മൂല്യങ്ങളോ, വളരെ വലിയ മൂല്യങ്ങളോ ഉണ്ടായേക്കാം. അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളില്‍ വർഗങ്ങളുടെ എച്ചം നിയന്ത്രിക്കുന്നതിനായി ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും വർഗങ്ങള്‍ കൃത്യമായി നിർവചിക്കാതെ പത്തില്‍ താഴെ (< 10), നൂറില്‍ കവിഞ്ഞത്‌ (> 100) തുടങ്ങിയ സൂചനകളിലൂടെ "വിവൃത വർഗാന്തരാള' (open interval) രീതി സ്വീകരിക്കാറുണ്ട്‌. കഴിവുള്ളിടത്തോളവും ഇങ്ങനെയുള്ള അവ്യക്തവർഗങ്ങള്‍ ഒഴിവാക്കുന്നതായിരിക്കും നല്ലത്‌. വർഗങ്ങളെ പലപ്പോഴും അവയിലെ ഗുണവിശേഷത്തിന്റെ മധ്യമൂല്യം (midvalue) കൊണ്ട്‌ സൂചിപ്പിക്കാറുണ്ട്‌. വർഗവിഭജനം സാധിക്കുന്നതോടെ ആവൃത്തിവിതരണനിർമിതിക്കുള്ള പ്രാരംഭനടപടികള്‍ പൂർത്തിയാകുന്നു.
പഞ്ചുകാർഡുകള്‍ ഉപയോഗിച്ചുള്ള യാന്ത്രികദത്ത സംസാധനത്താല്‍ (mechanical data processing) ആവൃത്തി വിതരണനിർമാണം ഏതാണ്ട്‌ ക്ഷിപ്രസാധ്യമാക്കിയിരിക്കുകയാണ്‌. കംപ്യൂട്ടറുകളുടെ ആവിർഭാവം ഈ ജോലി വളരെ ലഘൂകരിച്ചിട്ടുണ്ട്‌. പക്ഷേ, കംപ്യൂട്ടറോ മറ്റു ദത്തസംസാധനയന്ത്രസാമഗ്രികളോ ഇല്ലാത്തപ്പോഴും നിരീക്ഷിതദത്തങ്ങള്‍ വളരെ കുറച്ചെച്ചം മാത്രമായിരിക്കുമ്പോഴും ആവൃത്തിവിതരണനിർമിതിക്ക്‌ പഴയരീതിതന്നെ ആശ്രയിക്കേണ്ടിവരും. വർഗങ്ങള്‍ നിർണയിച്ചശേഷം അവ പട്ടികയുടെ ഒരു വശത്തെന്നപോലെ എഴുതി നിരീക്ഷിതദത്തങ്ങള്‍ ഓരോന്നായി പരിശോധിച്ച്‌ അതിന്റെ മൂല്യം ഏതു വർഗത്തില്‍പ്പെടുന്നുവോ അതിനെതിരേ യഥാസ്ഥാനം "ടാലിമാർക്ക്‌' (/) ഇട്ട്‌ ആവൃത്തി നിർണയനം നടത്തുന്നതാണ്‌ പഴയരീതി; ഓരോ വർഗത്തിനുമെതിരേ രേഖപ്പെടുത്തപ്പെടുന്ന ടാലിമാർക്കുകളുടെ മൊത്തമെച്ചം, ആ വർഗത്തിന്റെ ആവൃത്തി കാണിക്കുന്നു. എച്ചാനുള്ള സൗകര്യത്തിനും തെറ്റുപറ്റാതിരിക്കാനുമായി നാല്‌ ടാലിമാർക്ക്‌ കഴിഞ്ഞുള്ള അഞ്ചാമത്തെ മാർക്ക്‌ കുറുകേയിടുന്നത്‌ സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും.
ഗുണവിശേഷങ്ങളുടെ സുഗമമായ വിശകലനത്തിന്‌ ആവൃത്തിവിതരണം സഹായിക്കുന്നെങ്കിലും ലഭ്യമായ വിവരങ്ങള്‍ ചിത്രരൂപത്തില്‍ പ്രകടിപ്പിക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ കൂടുതല്‍ എളുപ്പത്തില്‍ സമഗ്രവീക്ഷണവും പഠനവും സാധിക്കാം. ഇതിന്‌ ലേഖാ (graph) സമ്പ്രദായമാണ്‌ സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുക. ഭുജാക്ഷ(X-axis)ത്തില്‍ ഗുണവിശേഷത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങളും ലംബാക്ഷ(Y-axis)ത്തില്‍ ആവൃത്തിയും സൗകര്യപ്രദമായ സ്‌കെയിലുകളില്‍ രേഖപ്പെടുത്തിയാണ്‌ ലേഖ വരയ്‌ക്കുന്നത്‌. ഓരോ വർഗത്തിന്റെയും മൂല്യാഗ്രങ്ങളില്‍കൂടി ആ വർഗത്തിന്റെ ആവൃത്തി ഉയരമാക്കി നിർമിക്കപ്പെടുന്ന ദീർഘചതുരങ്ങള്‍ ഒന്നുചേർന്നുണ്ടാകുന്ന രേഖാചിത്രമാണ്‌ ആവൃത്തിചിത്രം (Histograph). ഓരോ വർഗത്തിന്റെയും ആവൃത്തി അതതു വർഗമധ്യത്തിനെതിരെ ബിന്ദുവായി രേഖപ്പെടുത്തി, അടുത്തടുത്ത ബിന്ദുക്കള്‍ മുറയ്‌ക്ക്‌ ഋജുരേഖകള്‍കൊണ്ട്‌ യോജിപ്പിച്ചുകിട്ടുന്ന ലേഖയാണ്‌ ആവൃത്തി ബഹുഭുജം (Frequency polygon). ലേഖയുടെ പൂർണതയ്‌ക്കുവേണ്ടി ആദ്യത്തെ ബിന്ദു ആദ്യവർഗത്തിന്റെ തുടക്കമൂല്യത്തിലേക്കും അവസാനബിന്ദു ആ വർഗത്തിന്റെ അന്ത്യമൂലത്തിലേക്കും നീട്ടാറുണ്ട്‌. ആവൃത്തിചിത്രത്തിലെ ഓരോ ദീർഘചതുരത്തിന്റെയും മുകള്‍ഭാഗത്തിന്റെ മധ്യബിന്ദുക്കള്‍ ഋജുരേഖകള്‍കൊണ്ട്‌ തുടർച്ചയായി യോജിപ്പിച്ചാലും ആവൃത്തിബഹുഭുജമായി; പക്ഷേ, ആവൃത്തിബഹുഭുജം നിർമിക്കുവാന്‍ ആവൃത്തിചിത്രം ആവശ്യമില്ല. ആവൃത്തിബഹുഭുജം വരയ്‌ക്കാനുപയോഗിച്ച ബിന്ദുക്കളെ ഋജുരേഖകള്‍ക്കുപകരം സരളമായ വക്രരേഖ(smooth curve)കൊണ്ടു ബന്ധിപ്പിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന ലേഖയാണ്‌ ആവൃത്തിരേഖ (Frequency curve).
ഗുണവിശേഷം അവിച്ഛിന്നവും (continuous) നിരീക്ഷിതമൂല്യങ്ങളുടെ എച്ചം അനന്തവുമാകുമ്പോള്‍ ഗുണവിശേഷത്തിന്റെ ഓരോ മൂല്യത്തിനും ആവൃത്തി ഉണ്ടാവും. ഇങ്ങനെയുള്ള മാതൃകാസ്ഥിതിവിശേഷം (ideal situation) ഒരു ആപേക്ഷികസ്‌കെയിലില്‍ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നതാണ്‌ ആവൃത്തിരേഖ. മറ്റൊരു വിധത്തിലുള്ള വർഗവിഭജനമായിരുന്നു സ്വീകരിച്ചിരുന്നതെങ്കില്‍ കിട്ടുമായിരുന്ന വിതരണം ഒരു ആവൃത്തിവിതരണത്തില്‍നിന്നും നിർമിച്ചെടുക്കുക സുകരമല്ല. എന്നാല്‍ ആവൃത്തിരേഖ ഉപയോഗിച്ച്‌-പുതിയ വർഗത്തില്‍ രേഖയ്‌ക്കിടയിലുള്ള ക്ഷേത്രഫലം കണക്കാക്കി-ഇമ്മാതിരിയിലുള്ള ഒരു പുതിയ ആവൃത്തിവിതരണം ഏകദേശമായി ഉണ്ടാക്കാന്‍ കഴിയും.
നിരീക്ഷിതദത്തങ്ങള്‍ സരളവും പഠനസൗകര്യമുള്ളതുമായ ഒരു ലേഖാരൂപത്തില്‍ സാധാരണയായി ലഭിച്ചെന്നു വരില്ല; അതുകൊണ്ട്‌ പലപ്പോഴും പഠനത്തിനു യോജിച്ച ഒരു മാതൃകയെ ആശ്രയിക്കുന്നു. ആ മാതൃക പഠനവിധേയമായ സാമ്പിള്‍-ആവൃത്തിവിതരണത്തോട്‌ കഴിവതും സാദൃശ്യം പുലർത്തേണ്ടതുണ്ട്‌; അതേസമയം ഗണിതശാസ്‌ത്രപരവും സാംഖ്യികവുമായ പ്രക്രിയകള്‍ക്കും പഠനങ്ങള്‍ക്കും ഉതകത്തക്കവിധത്തില്‍ എത്രയും ലളിതവും സങ്കീർണത കുറഞ്ഞതും ആവുകയും വേണം. അങ്ങനെയുള്ള ഒരു മാതൃക തിരഞ്ഞെടുക്കുക എന്നത്‌ അത്ര എളുപ്പമല്ല; അതിന്‌ പഠനവിഷയത്തെപ്പറ്റി അവഗാഹമായ അറിവും വളരെയേറെ പ്രായോഗികപരിജ്ഞാനവും ആവശ്യമാണ്‌. ആ വിധം തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്ന മാതൃകകളെ ആവൃത്തിവിതരണത്തിന്റെ സമഷ്‌ടിപ്പതിപ്പായി പരിഗണിക്കാവുന്നതാണ്‌. ഗുണവിശേഷം വിച്ഛിന്നമോ അവിച്ഛിന്നമോ എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച്‌ അവയെ യഥാക്രമം ആവൃത്തിഫലനം അഥവാ സംഭാവ്യതാഫലനം എന്നും സംഭാവ്യതാഘനത്വഫലനം എന്നും സാമാന്യമായി തരംതിരിക്കാം. മാതൃകാ വിതരണങ്ങളെ താത്ത്വികവിതരണങ്ങള്‍ (Theoretical distributions)എന്നും പറയാറുണ്ട്‌. (നോ: സാംഖ്യിക വിതരണം)
സംഭാവ്യതാഫലനം. ഗുണവിശേഷങ്ങള്‍ ഓരോ മൂല്യവും സ്വീകരിക്കുന്നതിനുള്ള സംഭാവ്യതയെ ഫലനരൂപത്തിലാക്കുകയാണ്‌ സംഭാവ്യതാഫലനം ചെയ്യുന്നത്‌. അതിന്റെ സാമ്പിള്‍ പതിപ്പാണ്‌ ആപേക്ഷികാവൃത്തിവിതരണം. ആപേക്ഷികാവൃത്തിയെ നിരീക്ഷിതമൂല്യങ്ങളുടെ എച്ചംകൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ ആവൃത്തി കിട്ടുന്നു. അതനുസരിച്ച്‌ സംഭാവ്യതാഫലനത്തില്‍നിന്നും ആവൃത്തി ഫലനവും മറിച്ചും നിർമിക്കാം. അതുകൊണ്ട്‌ സംഭാവ്യതാഫലനം, ആവൃത്തിഫലനം എന്നിവയില്‍ ഒന്നിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവിലൂടെ മറ്റേതിനെപ്പറ്റിയുള്ള അറിവും സിദ്ധിക്കുന്നു. അതിനാല്‍ മാതൃകകളില്‍ സംഭാവ്യതാ ഫലനത്തെപ്പറ്റിയാണ്‌ പ്രത്യേകം പഠിക്കുക. ഈ മാതൃകകള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നത്‌ പഠനവിധേയമായ ഗുണവിശേഷം വിച്ഛിന്നമായിരിക്കുമ്പോഴാണ്‌. പ്രതിദിനം 100 യൂണിറ്റുകള്‍ നിർമിക്കുന്ന ഒരു ഫാക്‌ടറിയില്‍ ഒരു ദിവസം നിർമിക്കപ്പെട്ട ഉപയോഗശൂന്യമായ യൂണിറ്റുകളുടെ എച്ചമാണ്‌ പഠനവിഷയം എന്നിരിക്കട്ടെ; ഈ എച്ചം 0 മുതല്‍ 100 വരെയുള്ള ഏതെങ്കിലും പൂർണസംഖ്യയാകാം. ഇതിന്റെ സംഭാവ്യതാഫലനത്തിനു യോജിച്ച മാതൃക ദ്വിപദവിതരണം (Binomial distribution) ആണ്‌. മേല്‌പറഞ്ഞ മാതൃകയനുസരിച് x യൂണിറ്റുകള്‍ ഉപയോഗശൂന്യമാകാനുള്ള സംഭാവ്യത
എടുക്കാവുന്ന വിധങ്ങളുടെ സഞ്ചയം (combination). ഇവിടെ ഓരോ യൂണിറ്റും ഉപയോഗശൂന്യം, ഉപയോഗപ്രദം എന്നീ വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നില്‍പ്പെടുന്നു. അങ്ങനെ ഓരോ നിരീക്ഷണഫലത്തെയും രണ്ടിലൊന്നു വിഭാഗത്തില്‍ വെണ്ണേറെപെടുത്തി ആവർത്തിക്കുന്ന മൊത്തം നിരീക്ഷണങ്ങളില്‍ ഓരോന്നും, രണ്ടു വിഭാഗങ്ങളിലോരോന്നിലും പെടാനുള്ള സംഭാവ്യത എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങള്‍ക്കും തുല്യമായിരിക്കും; ഇവയില്‍ ഒരു പ്രത്യേക വിഭാഗത്തില്‍പ്പെട്ടവയുടെ എച്ചമാണ്‌ പഠനവിഷയമെന്നതിനാല്‍ ദ്വിപദവിതരണമാണ്‌ യോജിച്ച മാതൃക. പ്രയോജനകരമായ മറ്റൊരു സംഭാവ്യതാഫലനമാണ്‌ പൊയ്‌സോണ്‍ വിതരണം (Poisson distribution). ഇതനുസരിച്ച്‌
എന്ന ഫലനം കൊണ്ടാണ്‌ ലഭിക്കുന്നത്‌. ദ്വിപദവിതരണത്തിന്റെ സങ്കല്‌പങ്ങള്‍തന്നെയാണ്‌ ഇതിലും ഉപയോഗിക്കുന്നത്‌. ഗുണവിശേഷം മാത്രം മാറിയിരിക്കുന്നു. ഒരു വിഭാഗത്തിലുള്‍പ്പെട്ട ആകെ സംഭാവ്യത എന്നതിനുപകരം, അതു നിർണയിക്കുവാന്‍ പരിശോധിക്കേണ്ടിവരുന്നവയുടെ എച്ചമാണ്‌ ഇവിടത്തെ ഗുണവിശേഷം. ഇവ കൂടാതെ മറ്റു മാതൃകകളും സംഭാവ്യതാഫലനത്തിനുപയോഗിക്കാറുണ്ട്‌. (നോ: സാംഖ്യിക വിതരണം) സംഭാവ്യതാഘനത്വഫലനം. ഗുണവിശേഷം അവിച്ഛിന്നമാകുമ്പോള്‍ ഓരോ മൂല്യവും സ്വീകരിക്കാനുള്ള സംഭാവ്യത നന്നേ വിരളമായതിനാല്‍ അങ്ങനെയുള്ള സന്ദർഭങ്ങളില്‍ സംഭാവ്യതാഫലനത്തിനു പ്രസക്തിയില്ല. അപ്പോള്‍ ആവൃത്തിരേഖയുടെ സമഷ്‌ടിപ്പതിപ്പായി സംഭാവ്യതാഘനത്വഫലനം ആണ്‌ ഉപയോഗിക്കുന്നത്‌. സംഭാവ്യതാഘനത്വഫലനം ആവൃത്തിരേഖപോലെ ലേഖാരൂപത്തിലോ സൂത്രരൂപത്തിലോ സൂചിപ്പിക്കാം. സൂത്രരൂപത്തിലാകുന്നത്‌ മറ്റു പ്രക്രിയകള്‍ക്ക്‌ കൂടുതല്‍ ഉപയുക്തമായിരിക്കുകയും ചെയ്യും. സാധാരണമായി ഇതിനുപയോഗിച്ചുവരുന്ന മാതൃക "പ്രമാണിക' വിതരണം (Normal distribution) എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒന്നാണ്‌. പ്രകൃതിയിലെ പല ഗുണവിശേഷങ്ങള്‍ക്കും ഈ മാതൃക വളരെയേറെ യോജിക്കുന്നതായാണ്‌ അനുഭവം. ഈ മാതൃകയ്‌ക്ക്‌ ഗണിതശാസ്‌ത്രപരമായും സാംഖ്യികമായും പലേ വൈശിഷ്‌ട്യങ്ങളും ഉണ്ട്‌.
എന്ന സംഭാവ്യതാഘനത്വഫലനംകൊണ്ട്‌ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു; a, σ, എന്നിവയുടെ മൂല്യം വ്യത്യാസപ്പെടുത്തി വിവിധ പ്രാമാണികവിതരണങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കാം. ഇത്രയും പ്രാധാന്യമുള്ളതല്ലെങ്കിലും മറ്റ്‌ അനേകം സംഭാവ്യതാഘനത്വഫലനങ്ങളും പ്രചാരത്തിലുണ്ട്‌. നോ: സാംഖ്യിക വിതരണം
(ആർ. കൃഷ്‌ണപിള്ള)
